۱- عبارت‌های زیر را با هم مقایسه کنید:
پاسخ تشریحی:
برای مقایسه، حاصل هر دو طرف را محاسبه کرده و سپس علامت مناسب ($<$, $>$, یا $=$) را قرار می‌دهیم.
**الف) $|(-۷)^۲| \bigcirc |-۷|^۲$**
* سمت چپ: $|(-۷)^۲| = |۴۹| = ۴۹$
* سمت راست: $|-۷|^۲ = (۷)^۲ = ۴۹$
* نتیجه: $۴۹ = ۴۹$, بنابراین پاسخ **=** است.
**ب) $|-۸+۵| \bigcirc |-۸|+|۵|$**
* سمت چپ: $|-۸+۵| = |-۳| = ۳$
* سمت راست: $|-۸|+|۵| = ۸+۵ = ۱۳$
* نتیجه: $۳ < ۱۳$, بنابراین پاسخ **<** است. (این نمونه‌ای از نامساوی مثلثی است: $|a+b| \leq |a|+|b|$)
**ج) $|۳-۹| \bigcirc |۳|-|۹|$**
* سمت چپ: $|۳-۹| = |-۶| = ۶$
* سمت راست: $|۳|-|۹| = ۳-۹ = -۶$
* نتیجه: $۶ > -۶$, بنابراین پاسخ **>** است.
۲- عبارات زیر را بدون استفاده از قدرمطلق بنویسید:
$ |۰/۲۵ - ۰/۲۶| = $
$ |\sqrt{۳} - \sqrt{۴}| = $
$ |-\frac{۴}{۳}| = $
$ |۰| = $
پاسخ تشریحی:
برای حذف قدرمطلق، ابتدا علامت عبارت داخل آن را تعیین می‌کنیم. اگر مثبت یا صفر بود، خود عبارت را می‌نویسیم. اگر منفی بود، قرینه‌ی آن را می‌نویسیم.
* **$ |۰.۲۵ - ۰.۲۶| $:**
حاصل داخل قدرمطلق برابر $ -۰.۰۱ $ است که منفی می‌باشد. پس قرینه‌ی آن را می‌نویسیم:
$ |۰.۲۵ - ۰.۲۶| = -(-۰.۰۱) = ۰.۰۱ $
* **$ |\sqrt{۳} - \sqrt{۴}| $:**
چون $ \sqrt{۳} \approx ۱.۷ $ و $ \sqrt{۴}=۲ $، حاصل داخل قدرمطلق ($۱.۷ - ۲$) منفی است. پس قرینه‌ی آن را می‌نویسیم:
$ |\sqrt{۳} - \sqrt{۴}| = -(\sqrt{۳} - \sqrt{۴}) = \sqrt{۴} - \sqrt{۳} = ۲ - \sqrt{۳} $
* **$ |-\frac{۴}{۳}| $:**
عدد داخل قدرمطلق منفی است. پس قرینه‌ی آن را می‌نویسیم:
$ |-\frac{۴}{۳}| = -(-\frac{۴}{۳}) = \frac{۴}{۳} $
* **$ |۰| $:**
قدرمطلق صفر، خود صفر است:
$ |۰| = ۰ $
۳- حاصل عبارات زیر را به دست آورید:
الف) $\sqrt{(-۲۵۹۵)^۲}$
ب) $\sqrt{(۱۳۹۴)^۲}$
ج) $\sqrt{(-۳+\sqrt{۱۰})^۲}$
د) $\sqrt{(۲-\sqrt{۵})^۲}$
پاسخ تشریحی:
در این تمرین از قاعده‌ی مهم $ \sqrt{a^۲} = |a| $ استفاده می‌کنیم. حاصل این عبارت همواره یک عدد نامنفی است.
**الف) $\sqrt{(-۲۵۹۵)^۲}$**
$ \sqrt{(-۲۵۹۵)^۲} = |-۲۵۹۵| = ۲۵۹۵ $
**ب) $\sqrt{(۱۳۹۴)^۲}$**
$ \sqrt{(۱۳۹۴)^۲} = |۱۳۹۴| = ۱۳۹۴ $
**ج) $\sqrt{(-۳+\sqrt{۱۰})^۲}$**
$ \sqrt{(-۳+\sqrt{۱۰})^۲} = |-۳+\sqrt{۱۰}| $
برای تعیین علامت، می‌دانیم که $ \sqrt{۹}=۳ $ و $ \sqrt{۱۶}=۴ $، پس $ \sqrt{۱۰} \approx ۳.۱۶ $. بنابراین، عبارت $ -۳+\sqrt{۱۰} $ مثبت است.
حاصل برابر است با خود عبارت: $ -۳+\sqrt{۱۰} $
**د) $\sqrt{(۲-\sqrt{۵})^۲}$**
$ \sqrt{(۲-\sqrt{۵})^۲} = |۲-\sqrt{۵}| $
می‌دانیم که $ \sqrt{۴}=۲ $ و $ \sqrt{۹}=۳ $، پس $ \sqrt{۵} \approx ۲.۲۳ $. بنابراین، عبارت $ ۲-\sqrt{۵} $ منفی است.
حاصل برابر با قرینه‌ی عبارت است: $ -(۲-\sqrt{۵}) = \sqrt{۵}-۲ $
